In die diagram hieronder is A (-1 ; 5), B (2 ; 6), C en D die hoekkpunte van parallelogram ABCD - NSC Mathematics - Question 3 - 2017 - Paper 2

Omdat punt D op die x-as lê, is die y-koördinaat van D 0. Om die x-koördinaat te vind, kan ons die vergelyking van BC, wat gegee is as x + 2y = 14, gebruik:

Substitueer y = 0: $x + 2(0) = 14 \Rightarrow x = 14$

Dus, die koördinate van D is (14, 0).

Om te toon dat DF loodreg op BC is, sal ons die hellings van beide lyne vergelyk. Die helling van BC kan bereken word:

Vergelyking van BC: x + 2y = 14, kan herskryf word as:

$2y = -x + 14 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 7$

Die helling m van BC is -1/2.

Weereens, die helling van DF kan bereken word met die koördinate van D (14, 0) en F (10, 2):

$m_{DF} = \frac{y_F - y_D}{x_F - x_D} = \frac{2 - 0}{10 - 14} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

Omdat die produk van die hellings van DF en BC gelyk is aan -1, is DF loodreg op BC.

Die lengte van AD kan bereken word met behulp van die afstandsformule:

$AD = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2}$, waar A (-1, 5) en D (14, 0).

Bereken die x- en y-afstande:

$AD = \sqrt{(14 - (-1))^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(15)^2 + (-5)^2} = \sqrt{225 + 25} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}.$

Die oppervlak O van die parallelogram kan bereken word deur die basis en hoogte te gebruik. Die basis is AD en die hoogte kan die vertikale afstand tussen lyn AD en lyn BC wees.

Die oppervlakte is dan:

$O = basis \times hoogte = AD \times hoogte$

Daarom, as AD = $5\sqrt{10}$ en hoogte (afstand tussen lyn BC en AD) is 5, dan: $O = 5\sqrt{10} \times 5 = 25\sqrt{10}.$

Die hoeke kan bereken word deur die hellings van die lyne te gebruik. Ons het die helling van lyn AD en lyn BC reeds bereken. Gebruik die tangent van die hoek:

$\tan(\theta) = \frac{m_{BC} - m_{AD}}{1 + m_{BC}*m_{AD}}$

Hierna kan die waarde van die hoeke bereken word om ∠ABC te vind met behulp van arctan.