In die diagram is die sirkel met middelpunt C(2 ; p) geteken - NSC Mathematics - Question 4 - 2024 - Paper 2

Die lengte van AB kan geskat word deur die afstandsformule te gebruik:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

Die lengte van AB is dan vier keer die vierkant wortel van vyf.

Die helling van die lyn AB kan bereken word:

$m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{-3 - 5} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Die loedregte lyn sal dus 'n helling van -2 hê, en die vergelyking kan opgestel word as:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Daarom:

\Rightarrow y + 2 = -2x + 10\ \Rightarrow y = -2x + 8$$

Die middelpunt van die sirkel is C(2; p). Aangesien dit die loodregte lyn is wat AB halveer, kan p bereken word deur die vergelyking wat voorheen afgelei is, te gebruik:

Stel y = -2(2) + c, om c te vind met die bekendstelling van E:

\Rightarrow y = -2x + 3$$ Nou kan ons die waarde van p vind: $$p = 2(2) + 1 = -3$$ Dus p = -3.

Die algemene vorm van 'n sirkel vergelyking is: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Om die vergelyking te toon, kan ons die sentrum en radius bepaal. Ons het al die sentrum as C(2, -3) en die radius r = 5 eenhede. Die vergelyking is dus:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$

Dit gee ons:

\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 6y + (4 + 9 - 25) = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 $$.

Om te bepaal wanneer die lyn y=tx+8 nie die sirkel sal sny nie, stel ons die voorwaardes op waar die diskriminant van die vergelyking minder as nul moet wees:

Die sirkel se vergelyking is reeds gegee as $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Vervang y met tx + 8:

$x^2 + (tx + 8)^2 - 4x + 6(tx + 8) - 12 = 0$

Jy sal die vergelyking verder kan werk om die waarde van r uit te vind, maar ons weet dat die diskriminant van die kwadratiese vergelyking dan 'n negatiewe waarde moet hê om te bevestig dat daar geen snye is.