8.1 Bepaal f'(x) vanuit eerste beginsels indien f(x) = \frac{1}{x} - NSC Mathematics - Question 8 - 2024 - Paper 1

Om (\frac{d}{dx}(\sqrt{4x^4 + 2\sqrt{2}x^2})) te bepaal, gebruik die kettingreël:

Stap 1: Neem die afgeleide van die binneste funksie:

$\frac{d}{dx}(4x^4 + 2\sqrt{2}x^2) = 16x^3 + 2\sqrt{2} \cdot 2x = 16x^3 + 4\sqrt{2}x$

Stap 2: Neem die afgeleide van die buitensste funksie:

$\frac{1}{2\sqrt{4x^4 + 2\sqrt{2}x^2}} \cdot (16x^3 + 4\sqrt{2}x)$

Die finale afgeleide is:

$\frac{2x^3}{\sqrt{4x^4 + 2\sqrt{2}x^2}}$.

Om g(x) te vereenvoudig, verdeel elke term deur (x^2):

$g(x) = \frac{3x^4}{x^2} - \frac{4x^2}{x^2} + \frac{6}{x^2} = 3x^2 - 4 + \frac{6}{x^2}$
Die afgeleide van g(x) is dan:

$g'(x) = \frac{d}{dx}\left(3x^2 - 4 + 6x^{-2}\right) = 6x - 0 - 12x^{-3} = 6x - \frac{12}{x^3}$.

Gegee is dat die raaklyn aan f(x) = 3x^3 + bx + c by x = 1, die regte lyn is gegee deur y = 9x - 9.
Stap 1: Vind (f(1)):

$f(1) = 3(1)^3 + b(1) + c = 3 + b + c$
Stap 2: Gebruik die punt om die y-waarde van die raaklyn te kry:

$f(1) = 9(1) - 9 = 0$
Daarom:

$3 + b + c = 0 \Rightarrow b + c = -3$
Stap 3: Bereken die afgeleide:

$f'(x) = 9x^2 + b$
Stap 4: Gebruik die afgeleide om die helling by (x=1) te kry:

$f'(1) = 9(1)^2 + b = 9 + b$
Stap 5: Hierdie moet gelyk wees aan die helling van die raaklyn, wat 9 is:

$9 + b = 9 \Rightarrow b = 0$
Stap 6: Gebruik (b = 0) in (b + c = -3):
$0 + c = -3 \Rightarrow c = -3$
Die waarde van b is 0 en die waarde van c is -3.