Die skets hieronder toon die grafiek van $f(x)=-x^{2}-6x+7$ - NSC Mathematics - Question 6 - 2022 - Paper 1

Die waarde van $k$ kan bereken word deur die y-waarde van punt D in die funksie in te vul:

$k = f(-5) = -(-5)^{2} - 6(-5) + 7 = 12$

So, $k = 12$.

Om die vergelyking van die lyn wat deur punte C en D gaan, te bereken, benodig ons eers die koördinaten van C, wat $C(0; 7)$ is.

Die helling (m) van die lyn kan geskat word as:

$m_{CD} = \frac{y_{D} - y_{C}}{x_{D} - x_{C}} = \frac{12 - 7}{-5 - 0} = -1$

Die vergelyking van die lyn kan dan geskryf word as:

\ y - 7 = -1(x - 0)\ \ ext{Dus, die vergelyking van CD is: } y = -x + 7$$

Die raaklyn aan $f$ by punt P moet ewewydig aan CD wees, wat 'n helling van $-1$ het:

So, die afgeleide van $f$ is:

$f'(x) = -2x - 6$

Stel die afgeleide gelyk aan $-1$:

\ -2x = 5\ \ x = -5/2 = -2.5$$ Nou kan ons die y-koördinaat van P vind deur $x = -2.5$ in $f(x)$ in te vul: $$P = f(-2.5) = -(-2.5)^{2} - 6(-2.5) + 7 = 21.75$$ So, die koördinate van P is $(-2.5; 21.75)$.

Om die waardes van $x$ te vind waar $f(x) - 12 > 0$, stel ons die ongelijkheid op:

\ -x^{2} - 6x - 5 > 0$$ Oor die gelykheid: $$x^2 + 6x + 5 = 0$$ Deur faktorisering vind ons die wortels: $$(x + 1)(x + 5) = 0\ \ x = -1\ \ x = -5$$ Die ingangs van die ongelijkheid sal tussen die wortels wees, dus: a. $-5 < x < -1$ Dus, die waardes van $x$ wat die ongelijkheid voldoen is $-5 < x < -1$.