‘n Lugasnsig van ‘n stuk pad word in die diagram hieronder getoon - NSC Mathematics - Question 9 - 2017 - Paper 1

Laat ons die coördinate van P definieer as P(k; k^2 + 2). Die afstand PB kan bereken word deur die afstandformule:

PB = ext{sqrt}ig((k - 0)^2 + (k^2 + 2 - 3)^2\big)

Simplifiseer dit tot:

PB = ext{sqrt}ig(k^2 + (k^2 - 1)^2\big) = ext{sqrt}ig(k^2 + (k^4 - 2k^2 + 1)\big) = ext{sqrt}(k^4 - k^2 + 1).

Voor die kortste afstand moet die afgeleide PB geoptimaliseer word.

Bereken die afgeleide van PB:

$\frac{d(PB)}{dk} = \frac{1}{2\sqrt{(k^4 - k^2 + 1)}}(4k^3 - 2k)$

Stel die afgeleide gelyk aan 0:

$4k^3 - 2k = 0 \\ k(2k^2 - 1) = 0$

Die oplosings gee:

$k = 0\text{ of }k = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bekyk die waarde van PB by k = 0:

$PB(0) = \text{sqrt}(1) = 1,$ en vir k = \frac{1}{\sqrt{2}}:

$PB(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \text{sqrt}(\frac{1}{2} + 1) = \text{sqrt}(\frac{3}{2}) = 0,87.$

Die kortste afstand tussen Benny en die motor wanneer dit die naaste aan hom is, is dus $0,87$.