Photo AI
Gegee: $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4 = (x - 1)^2(x + 4)$ 8.1 Bepaal die koördinate van die draaipunte van $f$ - NSC Mathematics - Question 8 - 2023 - Paper 1
Question 8
Gegee: $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4 = (x - 1)^2(x + 4)$ 8.1 Bepaal die koördinate van die draaipunte van $f$. 8.2 Teken 'n sketsgrafiek van $f$. Dui duidelik alle... show full transcript
Worked Solution & Example Answer:Gegee: $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4 = (x - 1)^2(x + 4)$ 8.1 Bepaal die koördinate van die draaipunte van $f$ - NSC Mathematics - Question 8 - 2023 - Paper 1
Step 1
8.1 Bepaal die koördinate van die draaipunte van $f$.
Answer
Om die draaipunte van te bepaal, moet ons die afgeleide vind en dit gelykstel aan nul:
Stel dit gelyk aan nul:
Deel deur -3:
Factoriseer die kwadratiese vergelyking:
Dus is die draaipunte:
Bereken die y-waardes vir die draaipunte:
Die koördinate van die draaipunte is dus en .
Step 2
8.2 Teken 'n sketsgrafiek van $f$. Dui duidelik alle snypunte met die asse en enige draaipunte aan.
Answer
In die sketsgrafiek van moet ons die x- en y-snypunte identifiseer, asook die draaipunte wat reeds bereken is:
- Die x-snypunte kan bepaal word deur op te los, wat die waardes en sal gee.
- Die y-snypunt is wanneer , wat gee .
- Die sketsgrafiek moet die vorm van 'n kubiese funksie aantoon, met deurdraaiing tussen die draaipunte en die x-as.
Step 3
8.3 Gebruik die grafiek om die waarde(s) van $k$ te bepaal waarvoor $-x^3 + 6x^2 - 9x + 4 = k$ drie reële en onegelyke wortels sal hê.
Answer
Van die grafiek kan ons sien dat beperk moet wees wat die y-weergawe van die draaimomente aanbetref. Wanneer die waarde van tussen die y-waardes van die draaipunte is, sal ons drie reële en onegelyke wortels hê. Die y-waarde tussen en sal dit waarborg.
Step 4
8.4 Die lyn $g(x) = ax + b$ is die raakylyn aan $f$ by $y$ se infleksiepunt. Bepaal die vergelyking van $g$.
Answer
Die infleksiepunt van is waar die tweede afgeleide gelyk is aan nul. Vind eerstens :
Stel dit gelyk aan nul:
ightarrow x = 2$$ Bereken die y-waarde: $$f(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 9(2) + 4 = 2$$ Die raakylyn aan $f$ op $(2,2)$ kan bereken word met die afgeleide waarde: $$f'(2) = -6 + 12 = 6$$ Dit gee: $$g(x) = 6(x - 2) + 2 ightarrow g(x) = 6x - 10$$.Step 5
8.5 Bereken die waarde van $ heta$, die skerpte gevorm tussen $g$ en die $x$-as in die eerste kwadrant.
Answer
Die helling van die raakylyn word gegee deur die koëffisiënt van , wat 6 is. Die skerpte kan bereken word met die tangens van die helling:
tan( heta) = rac{6}{1}
Dus,
ightarrow heta ext{ is ongeveer } 80.5^{ ext{o}}.$