Photo AI
Gegewe: f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x 8.1 Bereken die koördinate van die draailpunt van die grafiek van f - NSC Mathematics - Question 8 - 2017 - Paper 1
Question 8
Gegewe: f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x 8.1 Bereken die koördinate van die draailpunt van die grafiek van f. 8.2 Bewys dat die vergelyking 2x^2 - 5x + 4 = 0 slegs ee... show full transcript
Worked Solution & Example Answer:Gegewe: f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x 8.1 Bereken die koördinate van die draailpunt van die grafiek van f - NSC Mathematics - Question 8 - 2017 - Paper 1
Step 1
8.1 Bereken die koördinate van die draailpunt van die grafiek van f.
Answer
Om die draailpunt te vind, moet ons die eerste afgeleide van die funksie bereken:
f'(x) = 6x^2 - 10x + 4.
Stel die eerste afgeleide gelyk aan nul:
6x^2 - 10x + 4 = 0
Gebruik die kwadratiese formule om die waarde van x te vind:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
waar a = 6, b = -10, c = 4.
Die diskriminant, b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(6)(4) = 100 - 96 = 4, wat positief is.
Bereken die x-waardes:
x = \frac{10 \pm 2}{12}
Dus, die x-waardes is \frac{12}{12} = 1 en \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.
Nou, om die y-waardes te bereken, plaas x terug in die oorspronklike funksie:
Vir x = 1:
f(1) = 2(1)^3 - 5(1)^2 + 4(1) = 2 - 5 + 4 = 1.
Vir x = \frac{2}{3}:
f(\frac{2}{3}) = 2(\frac{2}{3})^3 - 5(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}).
Dit gee ongeveer y = \frac{28}{27}.
Die draailpunt koördinate is dus \left( \frac{2}{3}, \frac{28}{27} \right) en (1, 1).
Step 2
8.2 Bewys dat die vergelyking 2x^2 - 5x + 4 = 0 slegs een reële wortel het.
Answer
Om te bewys dat die vergelyking slegs een reële wortel het, bereken ons die diskriminant.
Vir die vergelyking 2x^2 - 5x + 4 = 0, is a = 2, b = -5, c = 4.
Die diskriminant is gegee deur:
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(4) = 25 - 32 = -7,
wat negatief is.
Dit beteken dat daar geen reële wortels is nie.
Step 3
8.3 Skets die grafiek van f en toon die afsnitte met die asse en die draailpunt duidelik aan.
Answer
Die grafiek van die funksie f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x het 'n 'S' vorm, en die draailpunke is op (1, 1) en \left( \frac{2}{3}, \frac{28}{27} \right).
Die afsnitte met die x-as kan bereken word deur die oorspronklike funksie gelyk aan nul te stel. As ons die grafik teken, moet dit die x-as sny by x = 0 wanneer f(0) = 4.
Die y-afsnit is by f(0) = 4.
Die grafiek moet ook die draailpunke duidelik toon.
Step 4
8.4 Vir watter waardes van x sal die grafiek van f konkaf op wees?
Answer
Om die konkaviteit van die grafiek te bepaal, moet ons die tweede afgeleide bereken:
f''(x) = 12x - 10.
Stel die tweede afgeleide gelyk aan nul om die punt van infleksie te vind:
12x - 10 = 0
x = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}.
Die grafiek is konkaf op daar waar f''(x) > 0. Dit is wanneer x > \frac{5}{6}.