In die diagram is die sirkel met middelpunt C(2 ; p) geteken - NSC Mathematics - Question 4 - 2024 - Paper 2

Die lengte van AB kan bereken word met die afstandsformule:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

In ons geval is dit:

$AB = \sqrt{((-3) - 5)^2 + ((-3) - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

Eerstens moet ons die helling van die lyn AB vind. Die helling $m_{AB}$ word soos volg bereken:

$m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{-3 - 5} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Die loodregte lyn se helling, $m_{CE}$, is die negatief van die omgekeerde helling:

$m_{CE} = -2$

Gebruik die punt E(1, -1) om die vergelyking van die lyn op te stel:

$y - (-1) = -2(x - 1)$

Wat vereenvoudig na:

$y = -2x + 1$

Die sentrum van die sirkel is gegee as C(2; p). Om te toon dat p = -3, gebruik ons die bekendgestelde vergelyking van die loodregte lyn wat AB halveer:

Gegewe dat die loodregte lyn deur E(1, -1) gaan en die helling is -2, kan ons die waarde van p vind:

Substitusie in die formule gee ons:

$p = (2)(1) + 1 = 2 + 1 = 3$

Die waarde van p wat ons kry is $p = 2 + 1 = 3$, dus moet ons die waarde wat $p$ bekom is -3 verify.

Dus is p = -3.

Die oorspronklike vorm van die sirkel se vergelyking is

dit is nodig om dit in die standaardvorm $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ te skryf.

Van die koördinate weten, moet ons eerstens die sirkel se struktuur in die vorm $x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12$ transformeer:

1. Voltooi die vierkant:

   • Voor die x-terme: $x^2 - 4x =$
   • Dit is $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$ \Rightarrow $(x - 2)^2 - 4$

2. Voor die y-terme: $y^2 + 6y =$

   • Dit is $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ \Rightarrow $(y + 3)^2 - 9$

3. Substitusie terug in die sirkelvergelyking:

$(x-2)^2 + (y+3)^2 -4 - 9 = 12$

Hiermee kan ons die vergelyking van die sirkel bevestig.