In die diagram is Q(3 ; 0), R(10 ; 7), S en T(0 ; 4) hoekpunte van parallelogram QRST - NSC Mathematics - Question 3 - 2017 - Paper 2

Die lengte van 'n lyn kan bereken word met die afstandsformule:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Hier, ons punte is R(10; 7) en Q(3; 0):

$RQ = \sqrt{(10 - 3)^2 + (7 - 0)^2}$

$RQ = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$

Dus, die lengte van RQ is $7\sqrt{2}$.

Om te bepaal of die punte saamlynig is, moet die gradiënt van F(k; -8) gelyk wees aan die gradiënt van TQ:

Die gradiënt van TQ het ons reeds bereken as $-\frac{4}{3}$. Die gradiënt van TF is:

$m_{TF} = \frac{-8 - 4}{k - 0} = \frac{-12}{k}$

Stel dit gelyk aan die ander gradiënt:

$\frac{-12}{k} = -\frac{4}{3}$

Hieruit kan ons die waarde van k bereken:

$12 \cdot 3 = 4k \implies 36 = 4k \implies k = \frac{36}{4} = 9$

Dus, $k = 9$.

Gegewe die parallelogram QRST, kan ons die koördinate van S vind deur gebruik te maak van die eienskappe van 'n parallelogram. Die middelpunt M(5; 2) is die sentrum van die lyn QR, wat ons kan gebruik om die koördinate van S te bereken. Aangesien R(10; 7) en Q(3; 0) die hoeke is, kan ons die koördinaten van S as:

$S(x_s, y_s)$ bereken deur die dat ons S die volgende verhoudings het:

$x_s = x_Q + (x_R - x_Q)$ $x_s = 3 + (10 - 3) = 10$ $y_s = y_Q + (y_R - y_Q)$ $y_s = 0 + (7 - 0) = 11$

Die koördinaten van S is dus S(10; 11).

Om die hoeke α en β te bereken, ontdek ons die gradiënte van die lyn. Die gradiënt van TS:

Gegewe die coördinates van T en S: T(0; 4) en S(10; 11):

$m_{TS} = \frac{11 - 4}{10 - 0} = \frac{7}{10}$

Die gradiënt van RQ het ons ook reeds bereken as:

$m_{RQ} = \frac{7 - 0}{10 - 3} = 1$

Die tangens van die hoeke is:

$\tan(\alpha) = m_{TQ} = -\frac{4}{3}$

$\tan(\beta) = m_{RQ} = 1$

Daarom,

• $heta = \tan^{-1}(-\frac{4}{3})$ vir α
• $heta = \tan^{-1}(1)$ vir β

Die finale hoeke kan bereken word met 'n grafiese sakrekenaar.

Die afstand MQ het ons reeds bereken as $8$. Die afstand RQ is $7\sqrt{2}$. Dus is die verhouding:

$\frac{MQ}{RQ} = \frac{8}{7\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{14} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$

Die oppervlakte van ΔTQM kan bereken word met die formule:

$\text{Oppervlakte} = \frac{1}{2} \times basis \times hoogte$

Basis = MQ = 8, Hoogte = RQ = 7\sqrt{2}.

Die oppervlakte van parallelogram RQTS kan bereken word as:

$\text{Oppervlakte} = RQ \times TS$

Met die waardes wat ons het, kan ons die verhouding tussen die twee oppervlaktes bereken.