Die skets hieronder toon die grafieke van $f(x) = x^2 - 2x - 3$ en $g(x) = x - 3$ - NSC Mathematics - Question 5 - 2017 - Paper 1

Die lengte van segment AB kan bereken word deur die x-koördinate van A en B te gebruik. A se x-waarde is $-1$ en B se x-waarde is $3$.

Die afstand tussen A en B is:

$|3 - (-1)| = |3 + 1| = 4 ext{ eenhede}.$

Die draaipunt D van die paraboliese funksie kan bepaal word deur die afgeleide $f'(x)$ gelyk aan nul te stel:

$f'(x) = 2x - 2$

Wanneer ons $2x - 2 = 0$ oplos, kry ons:

$x = 1$

Om die y-waarde van D te vind, substitueer ons $x = 1$ terug in die oorspronklike funksie:

$f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = -4$

Dus is D se koördinate $D(1; -4)$.

Die gemiddelde gradient tussen twee punte word bereken met die formule:

ext{Gemiddelde gradient} = rac{f(D) - f(C)}{x_D - x_C}

Hierin, $f(D) = -4$ en $f(C) = 0$. Die x-waardes van C en D is $-1$ en $1$ onderskeidelik:

ext{Gemiddelde gradient} = rac{-4 - 0}{1 - (-1)} = rac{-4}{2} = -2.

Die grootte van $riangle OCB$ kan bepaal word deur die hoeke te gebruik. Aangesien OC en OB gelyk is (isoseles driehoek), is $heta = 45^ ext{o}$. Aangesien die hoeke in die driehoek saam 180^ ext{o} moet wees, kan ons die hoeke vind:

eta = 45^ ext{o}, ext{ dus is } heta + eta + ext{grootte van A} = 180^ ext{o}

Hieruit volg:

$ext{grootte van A} = 180^ ext{o} - 90^ ext{o} = 90^ ext{o}.$

Om te bepaal wanneer $f(x) = k$ twee ongewone positiewe reële wortels het, moet ons seker maak dat die diskriminant positief is. Die vergelyking is:

$x^2 - 2x - (3 + k) = 0$

Die diskriminant is gegee deur:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3 - k) = 4 + 12 + 4k = 16 + 4k.$

Vir twee oplossings is $D > 0$, wat beteken:

ightarrow k > -4.$$ En om positiewe wortels te hê, moet die grens ook in ag geneem word.

Om die waardes van $x$ te vind waarvoor $f''(x) - f'(x) > 0$, begin ons met die afgeleides:

$f'(x) = 2x - 2$ $f''(x) = 2$

Nou kan ons die ongelykheid opstel:

ightarrow 4 - 2x > 0 ightarrow 2x < 4 ightarrow x < 2.$$ Die oplossing is dus, $x > 1$.