Gegee: $f(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10$ 8.1 Skryf die y-afsnit van $f$ neer - NSC Mathematics - Question 8 - 2023 - Paper 1

Om te toon dat $2$ 'n wortel is, bereken ons $f(2)$:

$f(2) = 2^3 + 4(2)^2 - 7(2) - 10$ $= 8 + 16 - 14 - 10$ $= 0$

Dus is $2$ 'n wortel van die vergelyking.

Om $f(x)$ volledig te faktoreer, gebruik ons die gekende wortel $x = 2$. Begin met polynomial long division:

egin{align*} f(x) & = (x - 2)(x^2 + 6x + 5)
& = (x - 2)((x + 1)(x + 5))
& = (x - 2)(x + 1)(x + 5)
\end{align*}

Die volledig gefaktoreerde vorm is dus: $f(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 5)$

Die grafiek van $f(x)$ toon die x-afsnitte teweeg as die wortels van die faktore: $x = 2, -1, -5$. Die y-afsnit is alreeds bereken as (0, -10). Turnpunte soos gegee, word ook ingeskryf. Teken die grafiek en dui die afsnitte en draaipunte aan in die tweede en vierde kwadrant.

Neem die afgeleide $f'(x) = 3x^2 + 8x - 7$ en los vir die ongelykheid $f'(x) < 0$ om die waardes van $x$ te bepaal. Dit is waar $x ext{ in } (-3, 0.7)$.

Soek die kritiese punte deur $f'(x) = 0$ op te los:

$3x^2 + 8x - 7 = 0$

Die minimum waarde van die gradient is in $x = -1.33$.

Bepaal die tweede afgeleide $f''(x) = 6x + 8$. Vervolgens, los die ongelykheid $f'(x) f''(x) ext{ } s ext{ } 0$. Dit gebeur wanneer $x$ behoort aan (-orall, -3] ext{ of } [-1.33, 0.7].