In die diagram is M(3; -5) die middelpunt van die sirkel met middellyn PN - NSC Mathematics - Question 4 - 2022 - Paper 2

4.2.1 Die sirkel in die vorm $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$:

Die vergelyking van die sirkel kan geskryf word as:

$(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = r^{2}$,

waar $r$ die afstand is van die middelpunt M(3, -5) na die raaklyn, wat die afstand tot N(7, -2) is. Dit gee ons:

$r = \sqrt{(7-3)^{2} + (-2 + 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5$.

So die vergelyking is:

$(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$.

4.2.2 KL in die vorm $y=mx+c$:

Die lyn KL is 'n raaklyn aan die sirkel. Die stadige lede is:

$m = -\frac{4}{3}$ (agt die helling van die lyn wat aan die sirkel raak).

Die raaklyn sal dus geskryf kan word as:

$y = -\frac{4}{3}x + c$.

Om c te bereken, gebruik ons die koördinaat van N(7; -2):

$-2 = -\frac{4}{3}(7) + c$

Sodoende ballansering ons die waardes en vind k.

Die lyn met vergelyking $y=-\frac{4}{3}+k$ sal 'n snylyn van die sirkel wees as die diskriminant van die stelsels van vergelykings tussen die sirkel en die lyn groter of gelyk aan 0 is.

Stel die vergelyking van die lyn gelyk aan die vergelyking van die sirkel:

Substitusie in die vergelyking van die sirkel om die waardes van k te vind om te verseker dat dit 'n snylyn is.

Ek is 'n inskrywing te vind van die parameters.

Die lengte van die raaklyn AB kan gipst wees met die Pythagoras se teorema. Laat A(t; t) en M(3; -5) wees:

$AB^{2} = (t-3)^{2}+(t+5)^{2},$

wat die lengte van AB sal uitkom tot $\sqrt{\dots}$. So vir gewas en ontwikkeling, kan ons die uiteindelike antwoord rig na: $\sqrt{2t^{2}+4t+9}.$

Om die minimum lengte te bereken, kan ons die afgeleide van die funksie wat die lengte van AB gee, neem en dit gelykstel aan nul om die waarde van t te vind wat AB minimum maak:

Substitusie van hierdie waarde in die oorspronklike vergelyking sal die minimum waarde lewer.