Gegee: f(x) = -x² - 5x - 14 g(x) = 2x - 14 5.1 Skets die grafieke van f en g op dieselfde assestelsel - NSC Mathematics - Question 5 - 2017 - Paper 1

Om die raaklyn aan die grafiek van f te vind, moet ons die volgende stappe volg:

1. Bereken die afgeleide van f: $f'(x) = -2x - 5$
2. Evalueer die afgeleide by x = -rac{1}{2}: f'(-rac{1}{2}) = -2(-rac{1}{2}) - 5 = 1 - 5 = -4
3. Vind f(-rac{1}{2}) om die y-koördinate te bekom: f(-rac{1}{2}) = -(-rac{1}{2})^2 - 5(-rac{1}{2}) - 14 = -rac{1}{4} + rac{5}{2} - 14 = -rac{1}{4} + rac{10}{4} - rac{56}{4} = -rac{47}{4}
4. Gebruik die punt-slope vorm van 'n lyn: $y - y_1 = m(x - x_1)$ Dit gee: y - (-rac{47}{4}) = -4(x + rac{1}{2}).

Vir die vergelyking f(x) = k om twee ongeklyke positiewe reële wortels te hê, moet die diskriminant van die kwadratische vergelyking positief wees. Ons stel: $-x² - 5x - (14 + k) = 0$ Die diskriminant (D) is gegee deur: $D = b² - 4ac = (-5)² - 4(-1)(14 + k)$ Dus: $D = 25 + 56 + 4k = 81 + 4k$ Vir twee unieke positiewe wortels moet D > 0 wees, wat beteken: $81 + 4k > 0$ Dit gee: k > -rac{81}{4} Verder, om te verseker dat beide wortels positief is, moet: $k < -14$

Om die funksie g te reflekteer in die x-as, verander ons die teken van die hele funksie: $h(x) = -g(x) = - (2x - 14) = -2x + 14$ Om die grafiek dan 7 eenhede na links te skuif, vervang ons x met (x + 7): $h(x) = -2(x + 7) + 14 = -2x - 14 + 14 = -2x$ Die finale vergelyking van die funksie h is: $h(x) = -2x$.