Die skets toon die grafiek van $f(x) = x(x + 3)$ en $g(x) = -rac{1}{2}x + 2$ aan - NSC Mathematics - Question 5 - 2017 - Paper 1

Om die koördinate van die draaipunt te vind, bereken ons die afgeleide van $f(x) = x^2 + 3x$. Dit gee ons:

$f'(x) = 2x + 3$

Stel $f'(x) = 0$ op om die waarde van $x$ by die draaipunt te vind:

ightarrow x = -rac{3}{2}$$ Dan kan ons die y-koördinaat vind deur $x = -rac{3}{2}$ in $f(x)$ in te vul: $$f(-rac{3}{2}) = (-rac{3}{2})^2 + 3(-rac{3}{2}) = rac{9}{4} - rac{9}{2} = -rac{9}{4}$$ Die koördinate van $P$ is dus $igg(-rac{3}{2}; -rac{9}{4}igg)$.

Eerst vind ons $f(-5)$ en $f(-3)$:

$f(-5) = (-5)^2 + 3(-5) = 10$ $f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) = 0$

Die gemiddelde gradiënt is gegee deur:

m = rac{f(-3) - f(-5)}{-3 - (-5)} = rac{0 - 10}{-3 + 5} = rac{-10}{2} = -5

Stel die ongelykheid op:

$f(x) = x^2 + 3x > 0$

Factoriseer dit:

$x(x + 3) > 0$

Die kritieke punte is $x = 0$ en $x = -3$. Die tekenverdeling gee ons dat $f(x) > 0$ vir $x < -3$ en $x > 0$.

Die funksie $h(x) = f(x - 2)$ is gegee deur:

$h(x) = (x - 2)^2 + 3(x - 2) = (x^2 - 4x + 4) + (3x - 6) = x^2 - x - 2$

Nou vind ons die draaipunt deur die afgeleide te neem:

$h'(x) = 2x - 1$

Stel $h'(x) = 0$ om die waarde van $x$ te vind:

ightarrow x = rac{1}{2}$$ Die y-koördinaat kan bereken word deur in te vul: $$h(rac{1}{2}) = (rac{1}{2})^2 - (rac{1}{2}) - 2 = rac{1}{4} - rac{2}{2} - 2 = -rac{7}{4}$$ Die koördinate van die draaipunt van $h$ is $igg(rac{1}{2}; -rac{7}{4}igg)$.

Eerstens, die vergelyking van die regsh lyn is g(x) = -rac{1}{2}x + 2. Om die lengtes van $LM$ te vind, gebruik ons die formule:

$LM^2 = (y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2$

Waar $y_1 = g(x)$ en $y_2 = f(x)$. Dus:

LM = igg(-rac{2}{x + rac{7}{4}} + 2 - (-rac{81}{16})igg)

Verander die vergelyking na die gegewe formaat. Voltooi die kwadraat indien nodig.