Gegee die funksie $p(x) = igg( rac{1}{3} igg)^{x}.$ 4.1.1 Is $p$ 'n stygingde funksie? 4.1.2 Bepaal $p^{-1}$, die inverse van $p$, in die vorm $y = ...$ 4.1.3 Skryf die definisieversameling van $p^{-1}$ neer - NSC Mathematics - Question 4 - 2023 - Paper 1

Om die inverse van $p(x)$ te vind, verwissel ons $x$ en $y$:

1. Begin met y = igg( \frac{1}{3} \bigg)^{x}.
2. Verwissel die simbole: x = igg( \frac{1}{3} \bigg)^{y}.
3. Neem die logaritme van beide kante: y = rac{log_{\frac{1}{3}}(x)}{log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})}.

Die inverse kan geskat word as $y = log_{\frac{1}{3}}(x)$.

Die definisieversameling van $p^{-1}$ is $y \in \mathbb{R}$ omdat die logaritme van enige positiewe getal gedefinieer is, maar 'n negatief getal of nul is nie. So die definisieversameling is $(-\infty, 0)$.

Die funksie $p(x) - 5$ het 'n horisontale asymptoot by $y = -5$, aangesien die waardes van die funksie na $-5$ neig as $x$ na infinity beweeg.

Die vertikale asymptoot van die funksie $f(x) = \frac{4}{x-1} + 2$ is by $x = 1$, terwyl die horisontale asymptoot by $y = 2$ is.

Om die $x$-asvint te bereken, stel $f(x) = 0$:

$\frac{4}{x-1} + 2 = 0$.

Los op: $x-1 = \frac{4}{-2}$, wat lei tot $x = -1$.

Die grafiek van $f(x) = \frac{4}{x-1} + 2$ is 'n hyperbool. Dit het 'n vertikale asymptoot by $x = 1$ en 'n horisontale asymptoot by $y = 2$. Die $x$-asvint is by $x = -1$.

Om die waardes van $x$ te bepaal, los die vergelyking op:

$\frac{4}{x-1} + 2 = -2$ resulteer in $4 = -2(x - 1)$, wat $x = -1$ gee.

Die simmetrie-as by $y = -2$ is 'n horisontale lyn en die negatiewe gradient dui aan dat die funksie daal.