Photo AI
Gegee die kwadratiese ry; 0; 17; 32; .. - NSC Mathematics - Question 3 - 2017 - Paper 1
Question 3
Gegee die kwadratiese ry; 0; 17; 32; ... 3.1 Bepaal 'n uitdrukking vir die algemene term, T_n, van die kwadratiese ry. 3.2 Watter terme in die kwadratiese ry het '... show full transcript
Worked Solution & Example Answer:Gegee die kwadratiese ry; 0; 17; 32; .. - NSC Mathematics - Question 3 - 2017 - Paper 1
Step 1
Bepaal 'n uitdrukking vir die algemene term, T_n, van die kwadratiese ry.
Answer
Om die algemene term van die kwadratiese ry te bepaal, kyk ons na die eerste en tweede verskille:
[ 0, 17, 32 ]
Eerste verskille: 17, 15
Tweede verskil: -2
Die algemene vorm van 'n kwadratiese term is ( T_n = a n^2 + b n + c ).
Die tweede verskil, ( a ), kan bereken word as:
[ a = \frac{\text{tweede verskil}}{2} = \frac{-2}{2} = -1]
Hierna kan ons die volgende stelsels van vergelykings aflei:
[
3a + b = 17\
]
[
a + b + c = 20
]
[
-c = -19
]
Deur die waardes op te los, kry ons:
[
a = -1, b = 17, c = -19.
]
Dus:
[
T_n = -n^2 + 20n - 19.
]
Step 2
Watter terme in die kwadratiese ry het 'n waarde van 56?
Answer
Om die terme in die kwadratiese ry te vind wat 56 is, stel ons die vergelyking op:
[
56 = -n^2 + 20n - 19
]
Hierna herorganiseer ons die vergelyking:
[
n^2 - 20n + 75 = 0
]
Ons kan die kwadratiese vergelyking met die faktor metode oplos:
[
(n-15)(n-5) = 0
]
Die waarde van n is ( n = 5 ) of ( n = 15 ).
Step 3
Vervolgens, of andersins, bereken die waarde van \( \sum_{n=5}^{10} T_n - \sum_{n=1}^{15} T_n \).
Answer
Hierbinne bereken ons die verskil van die som van die terme:
[ \sum_{n=5}^{10} T_n - \sum_{n=1}^{15} T_n\ ]
Die waarde van die eerste som is: [ T_5, T_6, T_7, T_8, T_9, T_{10}\ ]
En die sekondêre som:
[
T_1, T_2, T_3, ... T_{15}
]
Deur die simmetrie van die terme te gebruik, kan ons die totale bereken:
[ = (56 + 45 + 32 + 17 + 0) - (80 + 77 + 72 + 65 + 62 + 56) = 81\ ]
Die finale antwoord is ( 81 ).