ΔABC is in die diagram hieronder geskuif - NSC Mathematics - Question 7 - 2024 - Paper 2

Die oppervlakte van ΔABC kan bereken word met die formule:

$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{basis} \times \text{hoogte}$. Hier, laat ons nemen:

• Basis = BC
• Hoogte = AD = AB \cdot \sin B

Dus,

$\text{Area} = \frac{1}{2} (BC)(AD) = \frac{1}{2} (BC)(AB \cdot \sin B)$.

In ΔABD en ΔACB is die hoeke en syde soos volg:

• AD = AC (gegee)
• ADB = ACB = α (gegee)
• ADB = ABC = 90° (gegee)

Dit beteken dat ΔABD ≅ ΔACB volgens die ZS stelling.

In ΔBCD kan ons die sinus definisie gebruik weer:

$\sin θ = \frac{BD}{BC}$. Hier, BC = k. Dus het ons:

$BD = k \cdot \sin θ$.

En,

$\sin θ = 2\sin θ \\k = 2\sin θ \cdot \cos θ$, wat lei tot die gevolgtrekking dat:

$BD = \frac{k}{2\cos θ}$.

Die oppervlakte van ABCD kan bereken word as die som van die opppervlaktes van ΔABC en ΔBCD.
Dus,

$\text{Area}_{ABCD} = \text{Area}_{ABC} + \text{Area}_{BCD}$.

Gebruik die vorige formule:

$\text{Area}_{ABC} = \frac{1}{2} (BC)(AD) = \frac{1}{2}(k)(AD).$

En die oppervlakte vir ΔBCD:

$\text{Area}_{BCD} = \frac{1}{2}(BD)(DC)(\sin θ) = \frac{1}{2}(\frac{k}{2\cos θ})(k)(\sin θ).$

Deur dit te vereenvoudig tot 'n enkele trigonometriese verhouding kan ons die totale oppervlakte vind.