In die diagram hieronder is P(-7; 4) 'n punt in die Kartesiese vlak - NSC Mathematics - Question 5 - 2022 - Paper 2

Die tangent van θ kan bereken word as:

tan θ = rac{ ext{tegenoor}}{ ext{aanliggende}} = rac{4}{-7}

So, tan θ = -rac{4}{7}.

Volgens die identiteitsformule geld:

$cos(θ - 180°) = -cos(θ)$

Die waarde van $cos θ$ kan verkry word deur die Pythagoreaanse identiteit:

$cos² θ + sin² θ = 1$,

waarbij cos θ = rac{7}{ ext{sqrt}(65)}.

Dus, cos(θ - 180°) = -rac{7}{ ext{sqrt}(65)}.

Begin deur die gelykheid te herskryf:

$sin x·cos x + sin x - 3·cos³ x - 3·cos x = 0$

Groepering lei tot:

$sin x·(cos x + 1) - 3·(cos³ x + cos x) = 0$

Met $cos x + 1 = 0$ of $sin x = 0$ kom ons by die algemene oplossingen:

$x = 180° + k·360°$ of $x = 0°, 180° + k·180°$. Hieruit vind ons die spesifieke oplossings.

Begin met die linkerhandkant (LHS):

LHS = rac{sin 3x}{1 - cos 3x}.

Hier kan ons die identiteit bewys deur die sinus en kosinus te vereenvoudig.

Met behulp van verskeie trigonometriese identiteite kan ons tot die regterhandkant (RHS) kom:

$RHS = 1 + cos 3x$.

Die bewys bevestig dat die identiteit geldig is.

Om die waardes van x te bepaal, stel ons die identiteit op:

$1 - cos 3x = 0$.

Hieruit volg:

$cos 3x = 1$.

Die oplossings vir 3x moet in die interval [0°, 180°] val, wat lei tot:

$3x = 0°, 360°$,

info ons dus dat $x = 0°$ of $x = 60°$ in die gegewe interval.