Gegee: $\sin A = 2p$ en $\cos A = p$ Bepaal die waarde van $\tan A.$ 5.1.1 Sonder die gebruik van 'n sakrekenaar, bepaal die waarde van $p$, as $A \in [180^{\circ}; 270^{\circ}].$ 5.2 Bepaal die algemene oplossing van $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0.$ 5.3.1 Brei $\sin(x + 300^{\circ})$ uit deur 'n toekapse saamgesteldehoek-formule te gebruik - NSC Mathematics - Question 5 - 2017 - Paper 2

Hier is ons gegee dat:
[ \sin A = 2p ]
[ \cos A = p ]

Vir $A$ in die derde kwadrant ($180^{\circ}$ tot $270^{\circ}$)

[
\sin A < 0 \quad \text{en} \quad \cos A < 0 ]

Aangesien $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:
[ (2p)^2 + p^2 = 1\
4p^2 + p^2 = 1 ] [ 5p^2 = 1
]
[ p^2 = \frac{1}{5} ]
[ p = \frac{1}{\sqrt{5}} ]

Hier gebruik ons die kwadratiese formule:

[
2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0
]

[
\Rightarrow a = 2, b = -5, c = 2
] Met die kwadratiese formule:

[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)} ] [ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} ] [
\sin x = 2 , \text{of} , \sin x = \frac{1}{2}
]

Hier is $\sin x = 2$ onmoontlik.

Dus, $\sin x = \frac{1}{2}$.

Die algemene oplossing is: [ x = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \text{ of } x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi , (k \in \mathbb{Z}) ]

Die saamgesteldehoek-formule is: [ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
]

So: [
\sin(x + 300^{\circ}) = \sin x \cos 300^{\circ} + \cos x \sin 300^{\circ} ]

Gegewe dat $\cos 300^{\circ} = \frac{1}{2}$ en $\sin 300^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, dan: [ \sin(x + 300^{\circ}) = \sin x (\frac{1}{2}) + \cos x (-\frac{\sqrt{3}}{2}) ]
[=rac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x ]

Vir die berekening van die waarde het ons: [ \sin(300^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} , ext{en} , \cos(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Dan: [ -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 ]

Begin met die linkerkant:
[ LHS = \tan(x + 1) = \frac{\sin(x + 1)}{\cos(x + 1)} ]

Gebruik die saamgesteldehoek-formules: [ \sin = \sin x \cos 1 + \cos x \sin 1 , ext{en} , \cos = \cos x \cos 1 - \sin x \sin 1 ]

Die uiteindelike uitdrukking sal wees:
[ LHS = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} = RHS ]

Begin met die gegewe vergelyking: [\sqrt{1 + k} = (\sin x + \cos x)^2]

[\Rightarrow 1 + k = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x]

Gegewe dat $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, kry ons: [\Rightarrow 1 + k = 1 + 2\sin x \cos x] [k = 2\sin x \cos x = \sin 2x]

Die maksimum waarde van $\sin x + \cos x$ plaas om $\sqrt{2}$ te kry:
[ \sin x + \cos x \leq \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \cdot \sin x \cos x} ] Die maksimum waarde van 1 is wanneer $\sin x = \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. [ \Rightarrow \text{Maximum waarde} = \sqrt{2} ]