Bepaal die volgende integrale: 9.1.1 $\, \int x(x^2 + 6x) \, dx$ 9.1.2 $\, \int \left( 3 + \frac{1}{x} \right) \, dx$ 9.2 Die skets hieronder verteenwoordig die oppervlakte begrens deur die funksie $g$ wat deur $g(x) = 3x^2$ gedefinieer word en die punte waar $x = k$ en $x = 4.$ Bepaal die waarde van $k$ as die begrensde oppervlakte 56 vierkante eenhede is. - NSC Technical Mathematics - Question 9 - 2021 - Paper 1

For this integral, we can separate the terms:

$\int \left( 3 + \frac{1}{x} \right) \, dx = \int 3 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx$

Calculating the integrals:

$= 3x + \ln |x| + C$

We find the area $A$ under the curve from $x=k$ to $x=4$:

$A = \int_k^4 3x^2 \, dx$

Calculating the integral:

$= \left[ x^3 \right]_k^4 = (4)^3 - (k)^3 = 64 - k^3$

Setting the area equal to 56:

$64 - k^3 = 56$

Solving for $k$ gives:

$k^3 = 8$ $k = 2$