'n Staalvervaardigingsmaatskappy wil 'n vlekvryestaalhouer met 'n vierkantige basis en 'n volume van 4 000 cm³ vervaardig - NSC Technical Mathematics - Question 8 - 2021 - Paper 1

Die buite-oppervlakte van die houer kan bepaal word deur die volgende formule:

$\text{Tot. Buite Oppervlak} = \text{oppervlakte van die basis} + 2 \times \text{lengte} \times \text{hoogte} + 2 \times \text{breedte} \times \text{hoogte}$

Die oppervlakte van die basis is $x^2$ en die hoogte het ons bepaal as $h = \frac{4000}{x^2}$. Dit beteken:

$\text{Buite-oppervlak} = x^2 + 2\times x \times h + 2\times x \times h = x^2 + 4 \times \frac{4000}{x^2}$

Simplifiseer dit tot:

$\text{Buite-oppervlak} = x^2 + \frac{8000}{x}$

Aangesien die oppervlaktes van die twee hoeke identies is, voeg ons die oppervlaktes by:

$\text{Buite-oppervlak} = x^2 + \frac{4000}{x} + 16 000$

Kom ons begin met die formule van die buite-oppervlakte wat ons in die vorige stap gekry het:

$\text{Tot. Surface Area} = x^2 + \frac{4000}{x} + 16000$

Om die optimale waarde van $x$ te vind, moet ons die afgeleide van die oppervlakvlak neem:

$\frac{d(\text{Tot. Surface Area})}{dx} = 2x - \frac{4000}{x^2}$

Stel die afgeleide gelyk aan nul:

$2x - \frac{4000}{x^2} = 0$

Hieruit volg:

$2x^3 = 4000$

$x^3 = 2000$

$x = \sqrt[3]{2000} \approx 12.6 \text{ cm}$

Substitueer $x$ terug in die hoogteformule om $h$ te vind:

$h = \frac{4000}{x^2} = \frac{4000}{(12.6)^2} \approx 25.2 \text{ cm}$